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可以通过以下方式开通邮储银行手机短信提醒服务。
方法一（以iPhone13为例）：
1、打开并登录邮储银行APP，点击“我的”，进入“设置”。
2、在设置中选择“短信通知”选项。
3、点击“短信通知加办”，勾选短信通知服务协议并勾选绑定的账户。
4、选择需要开通的手机号并输入验证码提交即可完成开通。
方法二（以iPhone为例）：持有效身份证件和银行卡前往最近的邮政储蓄银行网点柜台进行办理，填写申请表并提交后，银行工作人员会协助开通短信提醒服务，也可以通过网点柜台的自助服务终端开通短信提醒服务，在自助服务终端上选择“我的账户”，点击账户管理，选择短信通知管理，选择绑定账户并填写绑定的手机号即可完成开通。
不同版本的APP或自助服务终端可能存在操作差异，建议根据实际情况选择相应的方式进行操作，开通短信提醒服务需要支付一定的费用，具体费用可以咨询银行工作人员或查询相关资费标准。